函数连续性是山东专升本高等数学第一章的核心重难点，也是每年客观题、计算题高频考察的内容。很多考生在学习极限之后，会觉得连续的定义简单，但是一碰到分段函数、间断点分类、闭区间连续函数性质，就很容易混淆概念，做题出错。连续性是微积分的基础，导数、积分的学习都建立在连续的概念之上，吃透这部分内容，能够为后续整个高数的复习打好根基。今天我们结合山东专升本考纲要求，系统梳理函数连续性相关考点，理清容易踩坑的细节。

问：函数在一点连续，需要满足哪三个条件？ 按照山东专升本高数考纲的定义，函数在\(x_0\)点连续，需要同时满足三个条件：第一，函数\(f(x)\)在\(x_0\)处有定义；第二，x趋近于\(x_0\)时，函数极限\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)\)存在；第三，极限值等于该点的函数值，也就是\(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)\)。三个条件缺一不可，只要其中任意一条不满足，这个点就是间断点。 很多备考的同学刷山东专升本高数真题的时候，经常在分段函数连续性求参数的计算题上丢分。山东专升本高数真题对连续的考察，经常结合左右极限出题。山东专升本高数真题选择题，也会单独设置选项，判断某一个点是否连续。山东专升本高数真题复习的时候，一定要牢牢记住连续的三重判定条件，不能只凭图像 “看起来不断” 来判断。

左连续和右连续也是高频概念：\(\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)=f(x_0)\)为左连续；\(\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)=f(x_0)\)为右连续。函数在一点连续的充要条件，就是在该点既左连续、又右连续。分段函数的分段点，几乎都要依靠左右极限来判断连续性，这也是专升本计算题最常考的题型：给出分段函数，根据分段点连续，求解式子里面的未知参数。

问：间断点分为两大类，第一类间断点和第二类间断点怎么区分？ 间断点的分类依据，是该点左右极限是否存在。 第一类间断点：左右极限都存在，再细分两种：可去间断点、跳跃间断点。可去间断点，左右极限相等，但是函数在该点无定义，或者极限值不等于函数值，补充定义之后，函数就可以在这个点连续；跳跃间断点，左右极限都存在，但是二者不相等，图像在这里出现明显跳跃，无论怎么修改函数定义，都无法变成连续点。 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。专升本里面重点掌握两种：无穷间断点、振荡间断点。无穷间断点，极限趋向无穷大；振荡间断点，函数值在固定区间来回震荡，极限不存在。 这里有一个易错提醒：很多考生会误以为间断点就是函数没有定义的点，其实就算函数在该点有定义，只要极限和函数值不相等，依然属于间断点。

问：连续函数的运算性质，初等函数连续性有什么规律？ 连续函数经过四则运算之后，在定义域内依然保持连续；复合函数如果内层函数连续、外层函数连续，复合之后的函数在对应区间连续。 考纲里一句非常重要的结论：初等函数在它的定义区间内是连续的。注意关键词是 “定义区间”，不是定义域。定义域如果是孤立的点，不存在连续一说。所以我们求初等函数在某一点的极限，只要这个点在定义区间内，直接代入函数求值即可，这是快速求极限的重要方法。很多考生复习的时候忽略 “定义区间”，答题表述出现偏差，简答、判断题容易扣分。

问：闭区间上连续函数的三大性质，专升本考察形式是什么？ 闭区间连续函数三大性质：最值定理、介值定理、零点定理。 最值定理：闭区间上连续函数，一定存在最大值和最小值；如果是开区间，这个结论不一定成立。 介值定理：闭区间连续，函数可以取到最大值、最小值之间所有数值。 零点定理是考试最高频的：\(f(x)\)在\([a,b]\)连续，\(f(a)·f(b)<0\)，则区间内部至少存在一个点\(\xi\)，使得\(f(\xi)=0\)，也就是方程\(f(x)=0\)在区间内至少有一个实根。零点定理经常用来证明方程根的存在性，是证明题的常考方向。 很多考生容易记错前提：定理成立的两个硬性条件，闭区间 + 函数连续，少一个条件，定理都不能直接使用。

问：连续性这一章，刷题和复习顺序怎么安排？ 建议顺序：先熟记连续三条件，练习左右极限判断分段点连续性；再练习识别间断点、划分间断点类型；然后掌握初等函数连续的结论，用来快速求极限；最后理解闭区间连续函数三大定理，看懂零点定理的证明题型。 这个章节的难点，是把极限的计算和连续定义结合在一起，很多同学极限计算不过关，就算背熟定义，分段函数参数题依然算不对。复习的时候，不要脱离极限单独学连续，二者是紧密关联的。 如果自学的时候，分不清间断点类型，不会处理分段函数连续求参数的题型，跟着系统课程梳理会更稳妥。鲁师专升本的高数课堂，会把极限、连续整合为一个专题，结合真题题型拆解步骤，配套分层习题，帮助同学们理清概念边界，避开容易混淆的考点。

问：最后的复习小结 连续三条件：有定义、极限存在、极限等于函数值；第一类间断点左右极限都存在，第二类间断点极限至少一个不存在；初等函数在定义区间连续；闭区间连续函数，满足最值、介值、零点定理。

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